（https://www.u-tokyo.ac.jp/content/400239120.pdf）
どうも、白滝です。
前回に引き続き、東大の電磁気の問題。
ソレノイドのお話ですね。
前回
↓
具体的な計算というよりは、
(1)で公式を覚えているかを聞いて、
(2),(3)で「仕事」の理解を聞いてますね。
①ちゃんと「電磁誘導の公式」を覚えてますか？
②「仕事」を理解してますか？
ってね。
ただそれだけ。
習ったのならば、知っていて当たり前のことを、
ここで聞かれている。
ねえ。
あなたはちゃんと理解してますか。
電磁誘導とは。
仕事とは。
(1)これは公式を聞く問題ですな。
ねえ、ちゃんと公式覚えてる？
そういう問題ですね。
(以下、Gemini3の回答)
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ファラデーの電磁誘導の法則
コイルを貫く磁束が $\Delta t$ の間に $\Delta \phi$ だけ変化したとき、コイルに生じる誘導起電力の大きさ $|V|$ は以下の通りです。
$$|V| = \left| \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right|$$（問題文では変数が「変化量 $\Delta \phi$」として与えられているため、大きさとしてそのまま $\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ と記述して差し支えありませんが、厳密には絶対値または正の値として扱います）
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オームの法則
抵抗 $R$ の回路に電圧 $|V|$ がかかっているので、流れる電流 $I_B$ は：
$$I_B = \frac{|V|}{R} = \frac{1}{R} \frac{\Delta \phi}{\Delta t}$$
そう。
覚えている公式を使うだけ。
これは、解けたでしょう？
(2)は「仕事とはなにか」を聞く問題。
まず問題文を読んで欲しいのですが、
円形コイルB全体が磁場から受ける力をFとして、これを等速運動させている
ということは、
等速運動するように、外から力を加えているということですよね？
その外力$F_外$は、磁場から受ける力と逆向きで、
$F+F_外=0$ つまり、$F_外=-F$
んでね、あとはエネルギー保存則より、
回路で消費されるエネルギーと、外力がする仕事が一致する
ことに気づけば、
1sあたりに回路で消費されるエネルギー: $P_{heat} = R {I_B}^2$
（回路の抵抗で発生するジュール熱）
外力が1sあたりにする仕事：$P_{work} = F_{外} \cdot v_0 = -F v_0$
これらが等しいから、
んで、(1)より、$I_B$の値は計算済みだから、式を整理すると、
この式から、以下の2点が読み取れますね。
ーーーーー
①力は常に負（左向き）
②$F$ の大きさが最大になるのは、ソレノイドの入り口である $x=0$ 付近（磁束の時間変化率 $\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$ が最大になるとき）
ーーーーー
また、前問の図2-3から、ソレノイドの端の磁束の密度は、だんだんと直線的になるとわかるから、
磁束の時間変化率 $\frac{\Delta \phi}{\Delta t}$はソレノイドの入り口である $x=0$ 付近を境に、だんだんと0に近づいていく。（急に0になったりしない）
すると、（く）が答えだとわかります。
（常に負で、$x=0$で負の最大値をとり、$x>0$で緩やかに0に近づいていく）
まあ・・・
計算なんかしなくても、解けるんですけどねっw
↓
↓
（Gemini3の回答）
グラフを選ぶために、力の「向き」と「大きさの変化」を考えます。
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力の向き（レンツの法則）
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コイルBは $x < 0$（磁場の弱い場所）から $x > 0$（磁場の強い場所）へと移動しています。
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コイル内の右向きの磁束が増加するため、レンツの法則により「磁束の増加を妨げる向き（左向きの磁場を作る向き）」に誘導電流が流れます。
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この誘導電流は、ソレノイドが作る磁場から反発力を受けます。
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コイルは右（$+x$方向）に進んでいるので、反発力は左向き（$-x$方向）、つまり $F$ は負の値になります。
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この時点で、グラフが正の値（上側）にある (あ)～(き)、(け)～(さ) は不適です。候補は (く) か (し) に絞られます。
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力の大きさの変化
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磁場から受ける力 $F$ は、大まかに $F \propto I_B \times \frac{dB}{dx}$ （磁場の勾配）という関係があります。
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$x = -x_0$ 付近: ソレノイドから遠いため磁場はほぼ0で、変化もありません。$F \approx 0$。
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$x = 0$ 付近: ソレノイドの入口であり、磁束密度が急激に変化する場所です。ここで誘導起電力（および電流）が最大となり、受ける力も最大（ピーク）になります。
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$x = x_0$ 付近: ソレノイドの内部に入り込むと、磁場は一様（$B_0$）に近づきます。磁束の変化がなくなるため、電流は流れなくなり、力も0になります。
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結論
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$x=0$ で負のピークを持ち、両端で0になるグラフを選びます。
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(く) と (し) はどちらも負のピークですが、ソレノイド中心軸上の磁場分布は滑らか（なめらか）に変化するため、力も滑らかな曲線を描く (く) が物理的に適切です（(し)のような鋭い変化はしません）。
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よって、正解は (く) です。
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うん。
計算しなくても、
磁場が円形コイルに与える影響
を右ねじの法則とか使いながら考えれば、解けるように作られている。
ええ。
どちらで解いても、大丈夫でっせ。
でも、(3)は計算した人が得する問題かな・・・
Rを2倍にすると、Fの大きさの最大値は何倍になる？
という問題。
これ、(2)で出した式があれば楽勝ですね。w
$$F = – \frac{1}{R v_0} \left( \frac{\Delta \phi}{\Delta t} \right)^2$$
この式より、力 $F$ の大きさは抵抗値 $R$ に反比例するとわかりますね。
したがって、抵抗値が $R$ から $2R$（2倍）になると、分母が2倍になるため、力 $F$ の大きさはどの位置 $x$ においても $\frac{1}{2}$ 倍 になります。
当然、その最大値（ピーク時の大きさ）も $\frac{1}{2}$ 倍 になります。
ええ。
そんだけです。w
式を導出していない場合、
式を導出するのと同じ流れで説明すれば、(3)は解けるはずですぜ。w
なので、立式した人へのサービス問題かな。
というわけで、また次回。
では！
